← Назад

📚 Логические выражения

🔹 Что такое логическое выражение?

Логическое выражение — это выражение, составленное из логических переменных и логических операций, которое принимает одно из двух значений: 1 (истина) или 0 (ложь).

Логические переменные:

Переменные обозначаются заглавными латинскими буквами: A, B, C, ...

Каждая переменная может принимать только два значения:

  • 1 — истина (True)
  • 0 — ложь (False)

🔹 Правила записи логических выражений

В логических выражениях используются три основные операции:

Операция Название Символ Пример
НЕ Отрицание ¬ ¬A
И Конъюнкция ∧ или /\ A ∧ B
ИЛИ Дизъюнкция ∨ или \/ A ∨ B

Приоритет операций (от высшего к низшему):

  1. Скобки — выполняются первыми
  2. НЕ (¬) — отрицание
  3. И (∧) — конъюнкция
  4. ИЛИ (∨) — дизъюнкция

🔹 Таблицы истинности операций

❌ Отрицание (НЕ, ¬)

Операция НЕ A меняет значение на противоположное.

A ¬A
0 1
1 0

✖️ Конъюнкция (И, ∧)

Операция A И B истинна только тогда, когда оба операнда истинны.

A B A ∧ B
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1

➕ Дизъюнкция (ИЛИ, ∨)

Операция A ИЛИ B ложна только тогда, когда оба операнда ложны.

A B A ∨ B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1

🔹 Построение таблицы истинности

Таблица истинности — это таблица, в которой для всех возможных наборов значений переменных вычислено значение логического выражения.

Алгоритм построения таблицы истинности:

  1. Определить количество переменных (n). Количество строк в таблице (без заголовка) = 2n
  2. Записать столбцы для каждой переменной и заполнить их всеми возможными комбинациями 0 и 1
  3. Добавить столбцы для промежуточных операций в порядке приоритета (сначала НЕ, потом И, потом ИЛИ)
  4. Вычислить значения в каждом столбце, используя таблицы истинности операций
  5. Последний столбец — результат всего выражения

📝 Пример: выражение A ∨ ¬B

Переменные: A и B → 22 = 4 строки.
Операции в порядке приоритета: сначала ¬B, затем A ∨ ¬B.

A B ¬B A ∨ ¬B
0 0 1 1
0 1 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1

Разбор примера:

  1. Столбец ¬B: меняем значение B на противоположное (0→1, 1→0)
  2. Столбец A ∨ ¬B: применяем ИЛИ к значениям A и ¬B. Результат 0 только когда оба равны 0 (строка 2: A=0, ¬B=0)

🔹 Ещё один пример: A ∧ ¬B ∨ C

Три переменные → 23 = 8 строк.
Порядок операций: сначала ¬B, затем A ∧ ¬B, затем (A ∧ ¬B) ∨ C.

A B C ¬B A ∧ ¬B A ∧ ¬B ∨ C
0 0 0 1 0 0
0 0 1 1 0 1
0 1 0 0 0 0
0 1 1 0 0 1
1 0 0 1 1 1
1 0 1 1 1 1
1 1 0 0 0 0
1 1 1 0 0 1
▶ Перейти к практике