Системы счисления

🔹 Что такое система счисления?

Система счисления — это способ записи чисел с помощью определённого набора символов (цифр).

Различают:

Позиционные системы — значение цифры зависит от её положения (позиции) в записи числа
Непозиционные системы — значение цифры не зависит от её положения (например, римская система)

Основание системы счисления — количество различных цифр, используемых в системе
Алфавит системы счисления — набор всех разрешённых цифр
Разряд — позиция цифры в записи числа

Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Развёрнутая форма записи:

123₁₀ = 1 × 10² + 2 × 10¹ + 3 × 10⁰

123₁₀ = 100 + 20 + 3 = 123

Делим число на основание системы счисления
Вычисляем остаток от деления (это будет цифра в новой системе)
Если результат деления больше 0, повторяем деление с этим результатом
Когда результат деления станет 0, записываем все остатки в обратном порядке
Если остаток больше 9, заменяем его на букву: 10→A, 11→B, 12→C, 13→D, 14→E, 15→F

Для перевода числа из любой системы счисления в десятичную используйте развернутую форму:

Нумеруем цифры числа (ставя номер сверху) справа налево, начиная с 0
Каждую цифру умножаем на основание системы в степени значения написанного над цифрой
Если цифра - буква (A-F), заменяем её на число: A→10, B→11, C→12, D→13, E→14, F→15
Складываем все полученные произведения
Результат - число в десятичной системе

Пример:

1001110₂ = 1×2⁶ + 0×2⁵ + 0×2⁴ + 1×2³ + 1×2² + 1×2¹ + 0×2⁰

= 64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 2 + 0 = 78₁₀

Десятичная	Двоичная	Восьмеричная	Шестнадцатеричная
0	0000	0	0
1	0001	1	1
2	0010	2	2
3	0011	3	3
4	0100	4	4
5	0101	5	5
6	0110	6	6
7	0111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1301	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F